Sem perda de generalidade

Sem perda de generalidade (também abreviado para SPDG; menos comumente escrito como sem qualquer perda de generalidade) é uma expressão frequentemente usada em matemática. O termo é usado para indicar que a suposição que se segue é escolhida arbitrariamente, restringindo a premissa a um caso particular, mas não afeta a validade da prova em geral. Os outros casos também são comprovados por alguma simetria — ou outra equivalência ou semelhança. Como resultado, uma vez que uma prova é fornecida para o caso particular, é trivial adaptá-la para provar a conclusão em todos os outros casos.

Em muitos cenários, o uso de "sem perda de generalidade" é possibilitado pela presença de simetria. Por exemplo, se alguma propriedade $P(x,y)$ de números reais é conhecida por ser simétrica em $x$ e $y$, ou seja, que $P(x,y)$ é equivalente a $P(y,x)$, então, ao provar que $P(x,y)$ vale para cada $x$ e $y$, pode-se supor, "sem perda de generalidade", que $x\leq y$. Não há perda de generalidade nesta suposição, uma vez que o caso $x\leq y\Rightarrow P(x,y)$ foi provado, o outro caso segue por $y\leq x\Rightarrow P(y,x)\Rightarrow P(x,y)$, mostrando assim que $P(x,y)$ é válido para todos os casos.

Por outro lado, se tal simetria (ou outra forma de equivalência) não puder ser estabelecida, o uso de "sem perda de generalidade" é incorreto e pode equivaler a um prova por exemplo — uma falácia lógica de provar uma afirmação provando um exemplo não representativo.

Exemplo

Considere o seguinte teorema (que é um caso do princípio da casa dos pombos):

Se três objetos forem pintados de vermelho ou azul, deve haver pelo menos dois objetos da mesma cor.

Uma prova:

Suponha, sem perda de generalidade, que o primeiro objeto é vermelho. Se qualquer um dos outros dois objetos for vermelho, estamos acabados; se não, os outros dois objetos devem ser azuis e ainda assim terminamos.

Aqui, observe que o argumento acima funciona porque o mesmo raciocínio exato poderia ser aplicado se a suposição alternativa, a saber, que o primeiro objeto é azul, fosse feita. Como resultado, o uso de "sem perda de generalidade" é válido neste caso.

Ver também

• Salvo (matemática)

Ligações externas

• «WLOG». PlanetMath 
• "Without Loss of Generality" by John Harrison - discussion of formalizing "WLOG" arguments in an automated theorem prover.